Ikosaeder

Das Ikosaeder ist ein Polyeder, das von 20 gleich großen, gleichseitigen Dreiecken begrenzt ist. Das Ikosaeder hat 12 Ecken, an denen jeweils fünf Dreiecke zusammenstoßen, und 30 gleich lange Kanten. Es ist einer der fünf Platonischen Körper.

Formeln

Wenn man die Kantenlänge des Ikosaeders mit a bezeichnet, findet man folgende Beziehungen:

• Volumen:
  

• Oberfläche:
  

• Umkugelradius:
  

• Inkugelradius:
  

Herleitungen: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/ikosa.html

Symmetrie

Wenn man die 12 Ecken eines Ikosaeders gleichmäßig abschneidet, erhält man einen fußballförmigen Körper aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, der auch abgestumpfter Ikosaeder genannt wird. Wenn man "weiterdrückt", bis die Sechsecke verschwinden, erhält man ein Dodekaeder.

Ikosaeder, Fußball und Dodekaeder besitzen somit dieselbe hohe Symmetrie, die in einer eigenen Punktgruppe, der Ikosaedergruppe, zum Ausdruck kommt. Da das Ikosaeder fünfzählige Symmetrieachsen besitzt, kann ein Kristall keine ikosaedrische Symmetrie haben - wohl aber ein Quasikristall.

Realisierungen

Viele Viren, darunter HIV, haben eine ikosaedrische Form. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren möglichst klein sein müssen. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht optimal, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt.

Man kann das Ikosaeder auch als Drahtmodell aus 12 Fünfecken aufbauen, wobei jedes Fünfeck zwei Ecken mit 5 überlappenden Fünfecken teilt.

Das Ikosaeder hat mit der Geodätischen Kuppel gemeinsam, dass beide Oberflächen haben, die nur aus Dreiecken bestehen; diese sind dei den Geodätischen Kuppeln allerdings nicht gleichseitig. Beide Formen beruhen auf Fünfecken.