Identitätssatz

Der Identitätssatz (lateinisch lex identitatis ) bezeichnet neben dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten, dem Satz vom Widerspruch und dem Satz vom zureichenden Grund eines der vier Grundgesetze der formalen Logik.

Einleitung: die Identitätsbedingung für den identischen Gedanken im Schluss

Nach dem Identitätssatz muss jeder in einem mittelbaren Schluss ausgeführte Gedanke bei seiner Wiederholung ein und denselben bestimmten stabilen Inhalt haben. Diese Bedingung ist gefordert, wenn die Voraussetzung erfüllt sein soll, dass sich nach dem Identitätssatz der notwendige logische Zusammenhang zwischen Gedanken nur unter der Bedingung herstellen lässt, dass man jedes Mal, wenn in einer Folgerung oder in einem Schlusssatz ein Gedanke über einen Gegenstand auftaucht, eben diesen Gegenstand mit ein und denselben Inhalt seiner Merkmale denkt.

Teil A : der Identitätssatz in der traditionellen Logik

In der traditionellen Logik wird der Identitätssatz durch die Formel

A ist A

wiedergegeben. Im Lateinischen wird diese Aussage so interpretiert:

"omne subiectum est praedicatum sui" (Jedes Subjekt ist Prädikat seiner selbst).

In verneinender Form wird der Identitätssatz symbolisch durch

nicht-A ist nicht-A

dargestellt. In einigen Lehrbüchern der formalen Logik findet man auch folgende irreführende Formel für den Identitätssatz:

Aristoteles sagt dazu :"Alles ist in sich identisch und verschieden von Anderen" : A=A und verschieden von non A.

Alle diese Formeln sind nur symbolische Bezeichnungen für den Identitätssatz und drücken nicht seinen ganzen methodologischen Inhalt aus. Das ist um so mehr zu berücksichtigen, als in der Geschichte der Logik, und auch noch in dieser Zeit, Versuche unternommen werden, das ganze Gesetz auf eine dieser Formeln zu reduzieren und der formalen Logik zu unterschieben, der Identitätssatz fordere, davon auszugehen, dass sowohl Dinge als auch Gedanken immer mit sich selbst identisch seien.

Aus der weiteren Darlegung ist zu ersehen, dass die abstrakte Identität, an die sich die formale Logik hält, durchaus eine Veränderung innerhalb der Identität zulässt und die Identität nur als etwas Momentanes betrachtet, das aber dann verbindlich ist, wenn von einem Gegenstand in einem bestimmten mittelbaren Schluss die Rede ist.

Teil B: der Identitätssatz in der mathematischen Logik

Der Identitätssatz gehört zu den notwendigen Mitteln in der mathematischen Logik. Der Satz wird verwendet bei:

• identischen Umformungen

• der Ableitung von Folgerungen aus Prämissen

• der Konstruktion von Definitionen

• allen Fällen, in denen eine Identifikation von Ausdrücken vorgenommen wird

Leibniz und Bertrand Russell gaben als wesentliche Charakteristik für die Identität das folgende Identitätsprinzip(principium identitas) an:

oder

Diese Formulierung bedeutet: die Gegenstände x und y sind identisch, wenn jede Eigenschaft f des einen von ihnen gleichzeitig Eigenschaft des anderen Gegenstandes ist (siehe auch Leibniz-Gesetz)

In der Symbolik der mathematischen Logik kann man diese Gesetzmäßigkeit von Leibniz symbolisch durch

wiedergeben, wobei hier A eine Aussage bezeichnet, und diese Formel "A impliziert A " bedeutet(siehe Implikation).

In der Literatur findet man auch folgende Schreibweise:

was als "A ist äquivalent A" gelesen wird. Im Prädikatenkalkül der mathematischen Logik wird der Identitätssatz wie folgt beschrieben:

In Worten: "für jeden Gegenstand x ist wahr, dass, wenn x die Eigenschaft H hat, so x diese Eigenschaft hat"

Diese Fomel bedeutet: Für jeden Ausdruck H(x) mit der vollfreien Variablen x ist diese Formulierung allgemeingültig. Aufgrund dieser Formel impliziert das Zutreffen einer beliebigen Eigenschaft H auf einen Gegenstand x immer das Zutreffen dieser Eigenschaft auf x, das heißt die Formel beinhaltet die Unveränderlichkeit des Gegenstandes in allen seinen Eigenschaften im Verlauf eines logischen Schlusses.

Zur objektiven Begründung des Identitätssatzes

Der Identitätssatz hat eine objektive Begründung, er widerspiegelt eine der Seiten, der Grundeigenschaften der objektiven Realität. Seit der Antike ist bekannt, dass die Welt sich bewegende Materie ist. Die Bewegung ist die wesentliche und unabdingbare Grundeigenschaft der Materie (siehe Grundformen der Bewegung), ihre Existenzform. Sie ist, ebenso wie die Materie, ewig, nicht erschaffbar und unzerstörbar.

Die Natur ist so eingerichtet, dass die einzelne Bewegung zum Gleichgewicht strebt, die gesamte Bewegung der Materie jedoch von neuem das einzelne Gleichgewicht zerstört. Aber ehe dies eintritt, wird sich zum Beispiel ein Haus, das sich in einer zeitweiligen Ruhe befindet, im Gleichgewicht verharren. Und nicht nur dieses Haus, sondern jede Erscheinung, jeder Gegenstand der Natur und Gesellschaft bleibt ungeachtet der Veränderungen, die ständig in ihnen vor sich gehen, dennoch eine bestimmte zeitlang, zumindest in praktisch brauchbarer Näherung, ein und derselbe qualitativ betimmte Gegenstand oder ein und dieselbe qualitativ betimmte Erscheinung und erleidet keine wesentlichen Veränderungen, verwandelt sich nicht in eine neue Qualität.

Jede Erscheinung bewahrt neben der Veränderung diejenigen Grundzüge, die als identische Grundzüge, das heißt als solche, die mit sich selbst gleich sind, als dieselben Grundzüge in Erscheinung treten. Dies kann man an jedem Gegenstand, an jeder Erscheinung beobachten. Der Unterschied besteht nur in den Formen in bezug auf das Gleichgewicht und in seiner Dauer.

Jeder Gegenstand, der im Bewusstsein des Menschen widergespiegelt wird, hat eine qualitative und eine quantitative Definiertheit. Er gehört zu einer Gruppe ähnlicher Gegenstände, zu einer Familie, Art, Gattung. Aber gleichzeitig hat er bestimmte, eigene Züge, die nur ihm zukommen. Und gerade diese objektive Eigenschaft des Gegenstandes, des Ereignisses, der Erscheinung, eine bestimmte Zeit lang identische Merkmale zu bewahren, muss von unserem Denken widergespiegelt werden, wenn wir die uns umgebende Welt richtig verstehen wollen.

Diese Betrachtung ist natürlich eine gewisse Vergröberung, eine gewisse Vereinfachung. Aus der allgemeinen Bewegung, in der sich jeder Gegenstand der Natur befindet, sondern wir das heraus, was sich im Zustand der relativen Ruhe befindet. Das heißt im gedanklichen Abbild des materiellen Gegenstandes muss nicht nur das widergespiegelt werden, was sich entwickelt, sondern auch das, was sich im Zustand relativer Ruhe befindet, was mehr oder weniger stabil ist, was über eine längere Zeit identisch bleibt. Und dieser Prozess dauert an, bis der Gegenstand zu existieren aufhört oder sich in eine neue Qualität, in einen neuen Gegenstand verwandelt.

Aber das, was mehr oder weniger stabil ist, was relative Ähnlichkeit, Identität mit sich selbst während der ganzen einer Erscheinung, eines Gegenstandes bewahrt, das muss auch im Denken als stabil, als dauerhaft widergespiegelt werden, und muss bei allen unseren Schlussfolgerungen über diesen Gegenstand so lange identisch erscheinen, solange dieser Gegenstand nicht seine Qualität verändert.

Ähnlich wie in der Natur und der Gesellschaft sich Gegenstände und Bewegungsformen der Materie nicht vermengt werden, sondern konkrete, bestimmte Besonderheiten in sich tragen, dürfen auch unsere Gedanken über die Gegenstände und Bewegungsformen nicht vermengt werden, sondern müsssen die konkreten, bestimmten Besonderheiten widerspiegeln, die die widerzuspiegelnden Gegenstände aufweisen.

Die Einhaltung der Identität eines Gegenstandes während einer Schlussfolgerung ist ein Denkgesetz, das unbedingt befolgt weden muss, damit das Denken korrekt ist. Bereits Aristoteles schrieb in der "Metaphysik", dass man nicht zusammenhängend denken kann, wenn man nicht jedes Mal ein und dasselbe in der Schlussfolgerung bezüglich der jeweiligen Gegenstände denkt.