Homöomorphismus

Ein Homöomorphismus (nicht zu verwechseln mit Homomorphismus und

Homotopie) ist eine stetige Abbildung zwischen zwei geometrischen Objekten.

Zwei Objekte heißen homöomorph, wenn sie durch einen Homöomorphismus ineinander überführt werden können; sie liegen in der gleichen Homöomorphieklasse.

Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands vorstellen; Zerschneiden ist nur erlaubt, wenn man die Teile später genau an der Schnittfläche wieder zusammenfügt.

Topologie handelt von Eigenschaften, die unter Homöomorphismen invariant sind. Für eine formale Definition des Begriffs Homöomorphismus baut man deshalb auf das Axiomensystem der Topogie auf und nimmt an, X und Y seien topologische Räume. Eine Funktion f: X→Y ist dann und nur dann ein Homöomorphismus, wenn alle folgenden Bedingungen gelten:

• 1. f ist bijektiv,
• 2. f ist stetig, und
• 3. die Umkehrfunktion f ^-1 ist ebenfalls stetig.

Stetigkeit ist ein topologischer Begriff, der unmittelbar an das Axiomensystem des topologischen Raums anknüpft: die Funktion f heißt genau dann stetig, wenn für jede offene Menge V aus Y das Urbild f^-1(V) eine offene Menge in X ist.

Beispiele

Jeder Kreis (mit Radius > 0) ist homöomorph zu jedem Quadrat (mit Seitenlänge > 0) in der euklidischen Ebene R².

Das offene Intervall (0, 1) ist homöomorph zum Raum R aller reellen Zahlen.

Der Produktraum S¹ × S¹ des Einheitskreises S¹ = {x in R²: |x| = 1} mit sich selbst ist homöomorph zum zweidimensionalen Torus (einem Fahrradschlauch).

Die dritte Bedingung, dass die Umkehrfunktion f^-1 stetig ist, ist unerlässlich. Betrachte zum Beispiel die Funktion f: [0, 2π) -> S¹, f(x) = (cos(x), sin(x)). Diese Funktion ist stetig und bijektiv, aber kein Homöomorphismus. Die Umkehrfunktion f^-1 bildet Punkte nahe bei (1, 0) ab auf weit voneinander entfernte Zahlen in der Nähe von 0 und 2π, anschaulich würde der Kreis an der Stelle (1, 0) "zerrissen" und dann flach abgerollt zum Intervall.

Eigenschaften

Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind, dann haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften. Zum Beispiel: Ist der eine kompakt, dann auch der andere, ist der eine zusammenhängend, dann auch der andere, ist der eine hausdorffsch, dann auch der andere.

Dies gilt aber nicht für Eigenschaften, die über eine Metrik definiert sind; es gibt Paare metrischer Räume, die homöomorph sind, obwohl einer der beiden vollständig ist und der andere nicht.

Siehe auch: Bettische Zahlen