Gruppenaktion

Eine Gruppenaktion oder Gruppenoperation einer multiplikativ geschriebenen Gruppe G auf eine Menge X ist eine Abbildung

·:G×X→X,

welche den folgenden Bedingungen genügt:

• 1·x = x für das Einselement 1∈G und für alle x∈X;
• (gh)·x=g·(h·x) für alle g,h∈G und x∈X.

Die Menge X heißt der Bahnenraum der Gruppe G.

Die Menge

Gx:={gx| g∈G}

heißt Orbit oder Bahn von x unter G.

Die Menge

G_x:={g∈G| gx=x}

heißt Isotropiegruppe von x; sie ist eine Untergruppe von G, wie man leicht nachprüft.

Man kann weiterhin zeigen, dass zwei Bahnen entweder disjunkt oder gleich sind; der Aktionsbereich X ist somit eine disjunkte Vereinigung von Bahnen. Wenn es genau eine Bahn gibt, heißt X transitiv.

Wenn X eine additive Abelsche Gruppe ist und Distributivgesetze gelten, die die Verträglichkeit von Addition und Gruppenaktion sicherstellen, dann heißt die Gruppenaktion von G auf X äußere Multiplikation oder Skalarmultiplikation (unbedingt zu unterscheiden vom Skalarprodukt, das eine Multiplikation aus X×X in einen Skalarkörper ist). Wenn G ein Ring ist, dann ist (X, +, G, ·) ein Modul; wenn G ein Körper ist, dann ist (X, +, G, ·) ein Vektorraum.