Großer fermatscher Satz

Der große fermatsche Satz (auch unter Fermats letztes Theorem, Fermats letzter Satz oder fermatsche Vermutung bekannt) wurde von Pierre de Fermat formuliert.

Fermat beschäftigte sich im 17. Jahrhundert mit dem Satz des Pythagoras in der ARITHMETICA von Diophantos und behauptete um das Jahr 1637:

"Cubum autem in duos cubos aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem niminis fas est dividere."

auf deutsch:

"Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades."

Mit dem heutigen mathematischen Begriffsapparat ausgedrückt, dass die Gleichung (fermatsches Tripel)

für ganzzahlige a, b, c ungleich 0 und natürliche Zahlen n größer als 2 keine Lösung besitzt.

Dass Fermat zusätzlich zu seiner Behautpung notierte "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

(deutsch: "Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen") forderte viele Mathematiker besonders heraus. Denn hier kam der ärgerlichste Zug Fermats zur Geltung. Seine Worte lassen nämlich darauf schließen, dass ihm ein "wahrhaft wunderbarer" Beweis gelungen sei. Er machte sich jedoch nicht die Mühe den Beweis niederzuschreiben oder ihn zu veröffentlichen. Seinen Beweis teilte er nie jemandem mit.

Nach dem Beweis suchten erfolglos Generationen von Mathematikern. Darunter waren die bedeutendsten ihre Zeit. So fanden beispielsweise für n = 3 unabhängig voneinander Euler (1770) und Gauß den Beweis. Für n = 5 bewiesen im Jahre 1825 Dirichlet und Legendre den Satz. Später bewies Dirichlet noch den Fall n = 14. Den Fall n = 7 erledigte 1839 Lame. 1908 setzte Paul Friedrich Wolfskehl, ein Bankier aus Darmstadt, 100.000 Goldmark aus für denjenigen, der zuerst einen Beweis in einer Fachzeitschrift veröffentlicht; Einsendeschluss war der 23. September 2007.

Erst 1995 gelang es dem britischen Mathematiker Andrew Wiles, den Großen Fermatschen Satz zu beweisen. Für diesen sehr aufwendigen Beweis herangezogene mathematische Gebiete sind unter anderem Elliptische Kurven, Modulformen und Galois-Darstellung.

Heute wird angenommen, dass Fermat einen Beweis für einen Spezialfall (n = 4) gefunden hatte, von dem er glaubte, ihn verallgemeinern zu können. Die von Wiles benutzte Theorie war damals noch nicht entwickelt. Ob es einen elementareren Beweis gibt, den Fermat eventuell gefunden haben könnte, ist heute unter Zahlentheoretikern strittig.

Siehe auch: kleiner fermatscher Satz, catalansche Vermutung, Wieferich-Primzahl, Satz des Pythagoras

Literatur

• Simon Singh: Fermats letzter Satz - Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. ISBN_342333052X
• 1908, Geschäftliche Mitteilungen der Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen, Heft 1: Auslobung des Preises von Paul Wolfskehl.

Weblinks

• Mathematische Betrachtungen zum Satz
• Vollständiger Beweis des Satzes
• Weitere Informationen über den Beweis
• Historische Entwicklung bis zur Lösung