Eine Geradengleichung beschreibt in der Mathematik eine Gerade eindeutig. Die Abbildung zeigt eine Gerade g durch zwei gegebene Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.
n ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse, also die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum Ursprung des Koordinatensystems (für n = 0 ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung, eine Ursprungsgerade).
x und y sind Platzhalter für die Koordinatenwerte aller Punkte, die die Geradengleichung erfüllen und somit auf dem Graphen der Gerade liegen.
Ein Punkt P mit der x-Koordinate x hat eine y-Koordinate, die sich aus n und m · x zusammensetzt. Die Steigung m ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagerechte Kathete 1 ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt n folgt für die y-Koordinate:
,
im Beispiel:
,
Zweipunkteform
Die Steigung m der Geraden kann mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:
Nach dem Strahlensatz gilt für einen beliebigen anderen Punkt P(x|y) zugleich
ist der Richtungsvektor,λ ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.
Das Beispiel würde dann so aussehen:
λ bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, d.h. die Gerade wird (mit dem Nullpunkt bei P0) mit den Werten von λ beziffert (im Bild grün gekennzeichnet).
Normalform
Mit einem Normalenvektor
,_ der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (in anderer Notation: Normalenform) schreiben:
oder
Darin ist c eine Konstante und
das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem
Aus den Eigenschaften der Kosinusfunktion ergibt sich, dass stets
und
ist. Da
für alle Punkte der Geraden gleich ist, ist dieses Produkt konstant. Somit ist
Im Beispiel ist
c ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf der Geraden liegt, z.B. mit dem Punkt P(4|4):
(Jeder andere Punkt der Geraden führt zum gleichen Ergebnis!) Folglich lautet die Normalform der Geraden:
Hessesche Normalform
Sie leitet sich aus der Normalform ab. Offenbar ist der Betrag von
identisch mit dem Abstand d der Geraden vom Ursprung. Aus
folgt
Division durch
ergibt folglich
Daher ist
Im Beispiel ist
also
und der Ursprungsabstand der Geraden ist
Gerade im Raum
Zur Beschreibung einer Geraden im (dreidimensionalen) Raum ist nur die Parameterform
gebräuchlich, da eine Raumgerade weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzt (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen).
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