Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Sie befasst sich unter anderem mit differenzierbaren komplexwertigen Funktionen komplexer Variablen, und ist damit eine Verallgemeinerung der reellen Analysis.

Komplexe Funktionen

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form x + iy geschrieben werden kann, sieht eine allgemeine Form einer komplexen Funktion so aus

Hier sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen, die von zwei rellen Variablen x,y abhängen. u(x,y) heißt der Realteil und v(x,y) der Imaginärteil der

Funktion. Insofern unterscheidet sich eine komplexe Funktion nicht von einer reellen Abbildung von

nach

(also einer Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet.). Tatsächlich könnte man die ganze Funktionentheorie auch mit reeller Analysis behandeln.

Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex differenzierbare Funktionen betrachtet.

Komplexe Differenzierbarkeit

Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Analog zum reellen Fall definiert man: Eine Funktion ist komplex differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

(Für eine exakte Definition muss f dabei in einer Umgebung von a definiert sein und der Grenzwert muss für alle hinreichend kleinen w existieren und gleich sein). Für den Grenzwert muss dabei der komplexe

Abstandsbegriff verwendet werden:

Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die komplexe Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). Komplex differenzierbare Funktionen sind auch reell differenzierbar, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Holomorphe Funktionen

Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex differenzierbar sind,nennt man holomorphe Funktionen. Diese haben eine Reihe hervorragender Eigenschaften, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt - eben die Funktionentheorie.

Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex differenzierbar ist, automatisch beliebig oft komplex differenzierbar! (Im Gegensatz zum reellen Fall).

Äquivalente Definitionen Holomorpher Funktionen

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

• 1. Eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar
• 2. Eine Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar
• 3. Real- und Imaginärteil erfüllen die cauchy-riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal reell stetig differenzierbar
• 4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln
• 5. Das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen einfach zusammenhängenden Weg verschwindet.
• 6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe des cauchyschen Integralsatzes ermitteln.

Holomorphe Funktionen sind somit die angenehmsten Funktionen, die es in der Mathematik gibt: Sie sind beliebig oft differenzierbar, können in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe) entwickelt werden und vieles mehr.

Fast alle Funktionen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, sind

Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion (zumindest auf einem

Teil der komplexen Ebene): Insbesondere gilt das für Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen

(Sinus, Cosinus), Exponentialfunktion, Logarithmus, und Wurzelfunktionen.

Meromorphe Funktionen

Meromorphe Funktionen sind holomorph (analytisch) bis auf Polstellen. Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die aber nur endlich viele Reihenglieder besitzen, bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.

Funktionen mit wesentlichen Singularitäten

Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt es in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert annehmen kann (Satz von Picard). Funktionen mit wesentlichen Singularitäten haben eine nicht abbrechende Laurententwicklung für Potenzen mit negativen Exponenten.

Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten

Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind auch Realteil einer holomorphen Funktion. Damit lassen sich diese

Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann man oft Zusammenhänge und Eigenschaften von Funktionen finden, die im Reellen verborgen bleiben, zum Beispiel die Eulersche Identität.

Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der Physik (beispielsweise in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen, sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom-Spannungs-Diagramme).

Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der Fouriertransformation. In vielen Fällen lässt sich diese einfach durch komplexe Analysis berechnen.

Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil

harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den partiellen Differentialgleichungen, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.

Das Wegintegral einer holomorphen Funktione ist vom Weg unahängig.

Dies war historisch das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz.

Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der

algebraischen Topologie.

Außerdem kann man die Wegunabhängigkeit verwenden, um relle Integrale zu berechnen, indem man die Integration in der komplexen Ebene durchführt.

(siehe Residuensatz).

Weitere wichtige Themen und Ergebnisse

Wichtige Ergebnisse sind der cauchysche Integralsatz, der Residuensatz und der riemannsche Abbildungssatz. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra. Er besagt, dass sich ein Polynom im Bereich der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome im Bereich der reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen nicht möglich.

Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische Fortsetzbarkeit von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.

Funktionentheorie mehrere Variablen

Man kann auch Funktionen betrachten, die von mehreren komplexen

Variablen abhängen. Es hat sich jedoch gezeigt, dass sich in diesem Fall eine viel kompliziertere Theorie ergibt als im

Fall nur einer Variablen. Insbesondere gelten die meisten

Ergebnisse der normalen Funktionentheorie nur mehr mit

Einschränkungen (beispielsweise an das Gebiet). Die Funktionentheorie mehrerer

Variablen ist eher theoretisch interessant und spielt in der Praxis kaum eine Rolle.

Wikipedia-Artikel zur Funktionentheorie:

Grundlagen:

• komplexe Zahlen
• komplexe Teilmengen
• Holomorphie

Fundamentale Sätze:

• cauchyscher Integralsatz
• Residuensatz
• riemannscher Abbildungssatz

Komplexe Funktionen:

Ganze Funktionen:

• Exponentialfunktion
• Kreisfunktionen
• Hyperbelfunktionen

Meromorphe Funktionen:

• Gammafunktion