Fundamentalsatz der Analysis

Der Fundamentalsatz der Analysis, auch bekannt als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bringt die beiden grundlegenden Konzepte der Analysis, nämlich das der Integration und das der Differentiation, miteinander in Verbindung. Er besagt:

Ist

eine stetige Funktion und

ein beliebiger Punkt, so ist die Funktion

stetig differenzierbar, und ihre Ableitung ist

Beweis des Fundamentalsatzes

Es sei

eine Nullfolge mit der Eigenschaft, dass

und

stets gilt. Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung zu jedem

ein

zwischen

und

so dass

gilt. Nach dem Einschnürungsprinzip für Folgen gilt

folgt daraus

d.h.

F

ist in

x

differenzierbar mit der Ableitung

f(x).

Anwendungen

Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen

Die hauptsächliche Bedeutung des Fundamentalsatzes liegt darin, dass er es ermöglicht, die Integrale vieler Funktionen exakt zu berechnen. Dazu verwendet man die folgende Folgerung aus dem Fundamentalsatz: ist

I

wieder ein Intervall,

stetig und

eine Stammfunktion zu

f

(also eine differenzierbare Funktion mit

F^' = f), so gilt für beliebigea,b∈ I:

Der Beweis dieser Folgerung ergibt sich damit, dass sich Stammfunktionen derselben Funktion nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung nur um eine additive Konstante unterscheiden können, die aber wegen der Differenzbildung nicht ins Gewicht fällt.

Damit ist das Problem der Berechnung von Integralen auf das Problem der Bestimmung von Stammfunktionen zurückgeführt; dies ist jedoch im allgemeinen sehr schwierig.

Beispiele

Die auf ganz

besitzt die Stammfunktion

und wir erhalten somit

Die auf

definierte Funktion

deren Graph den Rand eines Einheitshalbkreises beschreibt, besitzt die Stammfunktion

Für die Fläche des Einheitskreises erhält man somit den Wert

An diesem Beispiel zeigt sich bereits, wie schwierig es sein kann, Stammfunktionen gegebener Funktionen einfach zu erraten; in vielen Fällen helfen jedoch die Verfahren der partiellen Integration (Produktintegration) und der Substitutionsregel.