Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper

Das bedeutet anders ausgedrückt: Sucht man Nullstellen eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen, reellen oder komplexen Koeffizienten, und dehnt man die Suche in den Bereich der komplexen Zahlen aus, so wird man immer fündig. Es ist aber nicht so, dass Polynome mit reellen Koeffizienten nur reelle Nullstellen haben.

Da man die zu den Nullstellen gehörenden Linearfaktoren abspalten kann, zerfällt somit jedes Polynom über

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra und/oder Topologie beinhalten. Trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden, da er eine Aussage über den Körper

Beispiel

Die Polynomgleichung

hat die Lösungen

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, was aus der zerlegten Form des Polynomes ersichtlich ist:

Anmerkungen

Komplexe Nullstellen treten bei Polynomen mit reellen Koeffizienten immer paarweise konjugiert auf. D.h. ist

Nullstelle, so auch

Beweis:

(Verschiedene Beweise sind auf der englischen Seite zu finden, vielleicht werden sie noch hierher übersetzt?)