Feldtheorie

Feldtheorie

Der Begriff Feldtheorie wird zusammenfassend für die Begriffe klassische Feldtheorie und Quantenfeldtheorie benutzt.

Feldtheorien sind ein mathematischer Unterbau zur Beschreibung all jener physikalischer Effekte, die durch Kräfte und Wechselwirkungen hervorgerufen werden. Sie sind ein zentraler Bestandteil der theoretischen Physik. Man unterscheidet zwischen so genannten Skalarfeldern und Vektorfeldern:

Skalarfelder ordnen jedem Raumpunkt eine Zahl zu, ein Beispiel hierfür ist die Temperatur oder das elektrische Potential. Solche Felder haben keine Information über Richtung. Felder, die jedem Raumpunkt einen Vektor und damit eine Richtungsinformation zuordnen, bezeichnet man als Vektorfeld.

Klassische Feldtheorien

Klassische Feldtheorien vernachlässigen die Effekte der Quantenmechanik. Die bekannteste klassische Feldtheorie ist die Elektrodynamik. Auch die Gravitation im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine klassische Feldtheorie. Kräfte wirken hierbei kontinuierlich.

Historisch wurden zunächst zwei Hypothesen über Felder aufgestellt: die Nahwirkungshypothese und die Fernwirkungshypothese. In der Nahwirkungshypothese wird angenommen, dass sowohl die an der Wechselwirkung beteiligten Körper als auch das beteiligte Feld eine Energie besitzen, hingegen in der Fernwirkungstheorie nur die beteiligten Körper. Zudem würden sich gemäß der Fernwirkungshypothese Störungen instantan ausbreiten. Diese Diskussion ging von Newton, Laplace und Faraday aus. Da im Fall statischer (d.h.: zeitlich gleichbleibender) Felder zwischen beiden Hypothesen nicht experimentell unterschieden werden kann, blieb die Frage bis zur Entdeckung elektromagnetischer Wellen durch Hertz unentschieden. Elektromagnetische Wellen können sich nämlich nur dann ausbreiten, wenn das Feld selbst über eine Energie verfügt.

Man unterscheidet zudem zwischen relativistischen und nichtrelativistischen Feldtheorien.

Quantenfeldtheorie

Quantenfeldtheorien wie die elektroschwache Wechselwirkung oder die QCD erfüllen im Gegensatz zu den klassischen Feldtheorien die Prinzipien der Quantenmechanik. Kräfte in Quantenfeldtheorien werden als Austausch von Eichbosonen verstanden. Je nachdem, wie sich diese Eichbosonen - und damit die jeweilige Wechselwirkung - verhält, wird unterschieden in

• abelsche Yang-Mills-Theorien: Hier können die Eichbosonen nicht (direkt) untereinander wechselwirken. Dies ist zum Beispiel in der Quantenelektodynamik der Fall.
• nicht-abelsche Yang-Mills-Theorien: hier ist eine Wechselwirkung von Eichbosonen mit weiteren Eichbosonen möglich. Zu dieser Kategorie gehören die QCD sowie die schwache Wechselwirkung.

Formalismus der Feldtheorien

Alle Feldtheorien können über den mathematischen Formalismus der Lagrangedichten beschrieben werden. Dieser ist eine Erweiterung des Lagrange-Formalismus der Mechanik. Ist für eine Feldtheorie eine Lagrange-Dichte

bekannt, dann führt eine Variation der Wirkung

auf die Euler-Lagrange-Gleichung der Feldtheorie:

Diese Gleichungen bilden ein System von Differentialgleichungen, die das Verhalten der Felder eindeutig festlegen. Daher bezeichnet man sie auch als Bewegungsgleichungen einer Feldtheorie. Um ein bestimmtes physikalisches System zu beschreiben ist es notwendig, die Randbedingungen geeignet festzulegen. Viele physikalische Probleme sind jedoch derart komplex, dass eine allgemeine Lösung des Problems unmöglich oder nur über numerische Verfahren zugänglich ist. Dennoch ermöglichen die Lagrangedichten in der Feldtheorie eine systematische Untersuchung von Symmetrien und Erhaltungsgrößen.