Exponentieller Vorgang

exp. Wachstum

Einen Vorgang bezeichnet man als exponentiell, wenn die wesentliche beteiligte Größe sich mit Hilfe der Exponentialfunktion als exponentielles Wachstum

oder als exponentielle Abnahme

beschreiben lässt. Dies ist der Fall, wenn die Zunahme beziehungsweise Abnahme

prozentual konstant, das heißt proportional zur Größedes Bestandes ist.

Die Geschwindigkeit des Wachstums beziehungsweise der Abnahme wird durchdie Wachstumsrate beziehungsweise Zerfallsrate λ bestimmt, die mit der

Verdoppelungsrate beziehungsweise Halbwertszeit T folgendermaßen zusammenhängt:

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus.

Bei vielen Prozessen setzt sich das exponentielle Wachstum nicht unendlichfort, sondern verlangsamt sich, bis eine Sättigung eingetreten ist.

Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein oft beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dassdie obige Formel die einfachste gewöhnliche Differentialgeichung

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist.

Beispiele

• Beispiele zur exponentiellen Abnahme wie etwa der radioaktive Zerfall siehe unter Halbwertszeit.
• Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
• In der Gesellschaft wachsen Kapital oder Schulden bei einem festen Zins mit Zinseszins exponentiell.
• Die Gesamtmenge an (Fach-)Literatur wächst exponentiell - Die Verdoppelungsrate beträgt etwa 20 Jahre, das entspricht einer Zunahme von etwa 3,5% pro Jahr.
• Auch die Menge der Artikel in Wikipedia wächst exponentiell.
• Moore's Law
• Bierschaum zerfällt exponentiell. Es ist ein beliebtes Experiment in Schulen um die Zerfallsrate an einem Beispiel aus dem Alltag darzustellen.

Siehe auch

NP und Polynomialzeit, logistische Gleichung, hyperexponentiell