Euklids Elemente

Euklids "Stoicheia", bei uns besser als "Euklids Elemente" oder "Die Elemente" bekannt, war bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meist verbreitete Werk der Weltliteratur. Es gibt uns einen guten Überblick über den mathematischen Kenntnisstand der Griechen gegen Ende des 4. Jahrhunderts v. Chr.

Bei den Elementen handelt es sich um ein Lehrbuch der Mathematik, das aus 13 "Büchern" besteht. Heute weiß man, dass diese Bücher von mehreren Autoren stammen und teilweise auf älteren Quellen beruhen, Euklid hier also hauptsächlich als Systematisierer und Herausgeber fungierte.

Bücher

Die Liste gibt einen Überblick über die behandelten Themen in den einzelnen Büchern (und über die dem Inhalt nach vermuteten Quellen):

• Buch 1-6: Flächengeometrie, u.a. kongruente und ähnliche Figuren
• • Buch 1: Von den Definitionen bis zum Satz von Pythagoras (Quelle(n): Pythagoräer)
  • Buch 2: Geometrische Algebra (Pythagoräer)
  • Buch 3: Kreislehre (Pythagoräer)
  • Buch 4: Vielecke (Pythagoräer)
  • Buch 5: Irrationale Größen (Eudoxos)
  • Buch 6: Proportionen (Quelle(n) unbekannt)
• Buch 7-9: Arithmetik, u.a. Zahlentheorie und Proportionenlehre
• • Buch 7: Teilbarkeit und Primzahlen (Pythagoräer)
  • Buch 8: Quadrat-/Kubikzahl und geometrische Reihen (Pythagoräer)
  • Buch 9: Gerade/Ungerade, u.a. auch der Satz von Euklid (Pythagoräer)
• Buch 10: Geometrie für inkommensurable Größen (Theaitetos)
• Buch 11-13: Raumgeometrie (Stereometrie), u.a. die fünf gleichmäßigen Körper (platonische Körper)
• • Buch 11: Elementares zur Raumgeometrie
  • Buch 12: Exhaustionsmethode (Eudoxos)
  • Buch 13: die fünf gleichmäßigen Körper (platonische Körper) (Theaitetos)

Zu diesen Büchern kamen später sogar noch zwei weitere Bücher hinzu:

• Buch 14: ein Buch des Hypsikles (im 2. Jahrhundert v. Chr.)
• Buch 15: ein wahrscheinlich von Damaskios stammendes Buch (im 5. Jahrhundert)

Aufbau

Das Werk arbeitet die Grundlagen der Geometrie und Arithmetik aus und zeigt musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft. Die meisten Aussagen werden aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen. Dieses Vorgehen beeinflusste bis heute nicht nur die Mathematiker, sondern auch viele Physiker, Philosophen und Theologen bei ihrem Versuch, ihre Wissenschaft auf Axiomen aufzubauen.

Um ein Gefühl für Euklids Vorgehen zu geben, werden einige der Aussagen vom Anfang des Buches aufgeführt.

Definitionen

Das Buch startet mit einigen Definitionen:

• Ein Punkt ist, was kein Teile hat,
• Eine Linie (ist) breitenlose Länge,
• .._.

Hier folgen dann unter anderem die mehr oder weniger anschaulichen Definitionen für die Strecke, die Fläche, das Quadrat und die Parallelen.

Postulate

Nach den eher beschreibenden Definitionen folgen die fünf eher festlegenden Postulate. Gefordert wird hier:

• dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
• dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
• dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
• dass alle rechten Winkel einander gleich seien,
• dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind (kurz: dass zu einer geraden Linie durch einen gegebenen Punkt außerhalb dieser Geraden höchstens eine dazu parallele gerade Linie existieren darf).

Axiome

An die fünf aufgeführten geometrischen Postulate schließen sich mehrere logische Axiome an:

• Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
• Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
• Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
• .._.

Kritik

Das letzte der fünf Postulate, das berühmte Parallelenpostulat, wurde bereits in der Antike heiß diskutiert, da es nicht so selbstverständlich wie die ersten vier erschien. Später versuchten auch viele arabische und europäische Mathematiker, dieses Postulat aus den übrigen Axiomen und Postulaten zu beweisen, darunter:

• Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.)
• Poseidonius (2./1. Jahrhundert v. Chr.)
• Ptolemäus (2. Jahrhundert)
• Proclus (5. Jahrhundert)
• Tabit ibn Qurra (9. Jahrhundert)
• Nasir al-Din al-Tusi (13. Jahrhundert)
• Giovanni Alfonso Borelli (17. Jahrhundert)
• John Wallis (17. Jahrhundert)
• Johann Heinrich Lambert (18. Jahrhundert)
• Adrien-Marie Legendre (18./19. Jahrhundert)

Es dauerte also über 2000 Jahre bis man erkannte, dass diese Versuche scheitern mußten, da auch weitere Geometrien denkbar sind, die auf dieses Postulat verzichten: der Ungar János Bolyai und der Russe Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski entwickelten um 1830 unabhängig voneinander jeweils eine eigene konsistente Geometrie, in welcher das fünfte Postulat nicht gilt. Heute weiß man, dass auch die Geometrie unseres Weltalls eine nichteuklidische ist.

Überlieferung

Die älteste erhaltene Handschrift stammt aus dem Byzanz des Jahres 888 und wird heute in der Bodleian Library (Oxford) aufbewahrt. Eine Übersetzung des Boetius aus dem Griechischen ins Lateinische (um 500) ist heute nur teilweise, und auch nur in späteren Bearbeitungen erhalten.

Von den zahlreichen arabischen Übersetzungen und Kommentaren waren für die Überlieferung besonders die beiden Übersetzungen des al-Haggag gegen Ende des 8. Jahrhunderts und diejenigen von Ishaq ibn Hunain/Tabit ibn Qurra (Ende 9. Jahrhundert) bzw. von Nasi al-Din al-Tusi (1248) von Bedeutung.

Die erste mittelalterliche Übersetzung der Elemente ins Lateinische verdanken wir dem Engländer Adelard von Bath. Dieser durchstreifte im 12. Jahrhundert Europa auf der Suche nach Handschriften und übertrug so um 1120 auch dieses Werk aus dem Arabischen. Unabhängig davon wurden die Elemente dann im gleichen Jahrhundert in Spanien auch noch von mindestens zwei weiteren berühmten Übersetzern aus dem Arabischen übertragen: von Herrmann von Kärnten und von Gerhard von Cremona.

Ebenfalls im 12. Jahrhundert, allerdings in Süditalien oder auf Sizilien und von einem unbekannten Autor, ist eine weitere Übersetzung der Elemente aus dem Griechischen entstanden. Wegen des Stils der Übersetzung liegt die Vermutung nahe, dass es sich bei diesem unbekannten Autor um denselben handelt, der um (1160) auch den Almagest des Ptolemäus übersetzte.

Natürlich gehörten die Elemente zu den ersten Werken, die man gedruckt haben wollte. Die vorbereitende Bearbeitung des Regiomontanus blieb in den 1460er Jahren unvollendet. Eine vollständige Übersetzung aus dem Griechischen von Zamberti konnte dann 1505 gedruck werden. Aus dieser Zeit nach der Erfindung des Buchdrucks werden hier nur noch einige der uns wichtigsten Werke hervorgehoben: die Übersetzung des Commandinus aus dem Griechischen (1572), die ausführlich kommentierte Ausgabe von Clavius (1574), die Übersetzung von F.Peyrard ins Französische (1814-1818) und nicht zuletzt die deutsche Übersetzung von Cl. Thaer nach dem Text von Heiberg (1933-1937).

WebLinks

• Euclid's Elements adapted to the web by D. E. Joyce.
• On the principal editions and translations of the text