Euklidische Geometrie

Die Euklidische Geometrie ist die uns vertraute Geometrie der Ebene oder des Raums oder deren Verallgemeinerung auf Räume beliebiger Dimension.

Die Euklidische Geometrie in d Dimensionen kann auf zwei Arten eingeführt werden:

• über ein System von Axiomen, die Zusammenhänge zwischen Punkten, Geraden, Ebenen und so weiter (bis zu Hyperebenen der Dimension d-1) beschreiben, oder
• algebraisch als der Raum R^d.

Beide Zugänge sind äquivalent. Der algebraische Zugang ist bequemer; der axiomatische Zugang ist von hohem geschichtlichen Interesse und erschließt Querverbindungen zu verschiedenen nicht-Euklidischen Geometrien.

Zur algebraischen Formulierung der Euklidischen Geometrie siehe die Artikel Euklidischer Raum und Analytische Geometrie. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf den axiomatischen Zugang zur Geometrie.

Die Axiome (Postulate) des Euklid

Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach axiomatischen Aufbau des Euklid gelehrt. Näheres dazu im Artikel über sein Buch Die Elemente.

Grundelemente der euklidischen Geometrie der Ebene sind Punkte und Geraden, welche Punkte verbinden. Geraden wiederum schneiden sich in Punkten. Aus diesen Grundelementen entsteht eine Geometrie, in der u.a. Dreiecke, Vierecke, n-Ecke, Winkel und Kreise enthalten sind.

Die fünf Euklidischen Axiome der Geometrie sind:

• 1. Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
• 2. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
• 3. Um jeden Punkt kann man einen Kreis beliebigen Radiuses schlagen.
• 4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
• 5. (Parallelenaxiom): Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind.

Seit der Antike wurde versucht, das 'unbeholfen' erscheinende Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten. Erst im 19. Jahrhundert entdeckten Carl Friedrich Gauß, János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski unabhängig voneinander die nichteuklidische und die absolute Geometrie.

Erstere ersetzt das Parallelenaxiom durch andere Axiome, letztere arbeitet ganz ohne das Konzept von Parallelen.

Analog entwickelte Leonard Euler die Affine Geometrie durch Herauslassen des 3. und 4. Axioms, welche in der Speziellen Relativitätstheorie (Minkowskiraum) wichtig ist.

Eine minimale Geometrie entsteht, wenn man nur das 1. und 2. Axiom verwendet.

Die dabei entstehende Geordnete Geometrie ist von Interesse, da ihre Sätze in allen oben genannten Geometrien wahr sind.

Moderne Axiomensysteme

Gegen Ende des 19ten Jahrhunderts wurde das Axiomensystem des Euklid zum Vorbild für den axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik. Dabei wurde erkannt, dass das Euklidische System lückenhaft ist: um die vertraute "Euklidische" Geometrie zu erhalten, muss man zusätzliche Axiome einführen (z. B. das Axiom von Pasch).

Unter den modernen Axiomensystemen ist das von David Hilbert am bekanntesten geworden (Grundlagen der Geometrie, Teubner 1900 [?], zahlreiche Neuauflagen). Die Axiomgruppen nach Hilbert sind:

• 1. Axiome der Verknüpfung (Inzidenz)
• 2. Axiome der Anordnung
• 3. Axiome der Deckungsgleichheit (Kongruenz)
• 4. Axiom der Parallelen (Parallelenaxiom)
• 5. Axiome der Stetigkeit (Archimedisches Axiom)