Darstellungstheorie

Die Darstellungstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das auf der Gruppentheorie aufbaut.

Die Grundidee ist, die Elemente einer Gruppe durch Transformationen bestimmter mathematischer Gegenstände darzustellen.

Eine Darstellung ρ einer Gruppe G ist somit ein Homomorphismus von G in die Automorphismengruppe Aut(W) einer gegebenen Menge W. Die Gruppenverknüpfung in G entspricht dem Hintereinanderausführen von Automorphismen in W: ρ(gh)=ρ(g) ρ(h).

Eine lineare Darstellung ist eine Darstellung durch Automorphismen eines Vektorraums V. Eine lineare Darstellung ist somit ein Homomorphismus von G in die allgemeine lineare Gruppe GL(V). Wenn V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K ist, dann besteht die Darstellung dementsprechend aus invertierbaren n×n-Matrizen mit Koeffizienten aus K. Die Vektorraumdimension n heißt Grad der Darstellung.

Oft wird der Begriff Darstellung im engeren Sinn von lineare Darstellung verwandt; eine Darstellung durch beliebige Automorphismen heißt dann Realisierung.

Glossar

Eine Darstellung heißt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.

Zwei Darstellungen ρ₁, ρ₂ heißen äquivalent, wenn sich ihre Matrizen nur durch unterschiedliche Basen unterscheiden, wenn es also eine invertierbare Matrix S gibt, so dass für alle Gruppenelemente g gilt: ρ₁(g) = S ρ₂(g) S^-1.

Eine lineare Darstellung heißt reduzibel, wenn der Vektorraum V nichttriviale Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden, sofern ggT(char(K),ord(G))=1 (Satz von Maschke). Eine Hauptaufgabe der Darstellungstheorie ist die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen.

Anwendungen

Lineare Darstellungen ermöglichen es, Eigenschaften einer Gruppe mit den Mitteln der linearen Algebra zu untersuchen; das ist nützlich, weil die lineare Algebra, im Gegensatz zur Gruppentheorie, ein kleines, abgeschlossenes und bestens verstandenes Gebiet ist.

Darstellungen endlicher Gruppen ermöglichen es in der Molekülphysik und Kristallographie, die Auswirkungen vorhandener Symmetrien auf messbare Eigenschaften eines Materials mit Hilfe eines rezeptmäßigen Kalküls zu bestimmen.

Beispiel

Sei G die zyklische Gruppe C₃, also die Zahlen {0,1,2} mit der Addition modulo 3 als Gruppenverknüpfung.

Die Abbildung τ: G→C, die den Gruppenelementen g Potenzen τ(g) = u^g der komplexen Zahl u = exp(2πi/3) zuordnet, ist eine treue lineare Darstellung vom Grad 1. Der Gruppeneigenschaft g³ = e entspricht die Eigenschaft u³ = 1. Die durch die Darstellung erzeugte multiplikative Gruppe τ(C₃) = {1, u, u²} ist isomorph zur dargestellten Gruppe C₃.

Eine solche Isomorphie liegt nicht vor bei der treuen linearen Darstellung vom Grad 2, die gegeben ist als

Diese Darstellung ist äquivalent zu einer Darstellung durch die folgenden Matrizen:

Die Darstellungen ρ und ρ' sind reduzibel: sie bestehen aus der direkten Summe der zuvor beschriebenen Darstellung g→u^g und der untreuen Darstellung g→1.

Taxonomie

Darstellungen können nach zwei Gesichtspunkten klassifiziert werden: (1) nach der Struktur der Zielmenge W, auf die die Darstellungen wirken; und (2) nach der Struktur der dargestellten Gruppe.

Einteilung nach Zielmengen

Eine mengentheoretische Darstellung ist ein Homomorphismus der darzustellenden Gruppe auf die Permutationsgruppe Sym(M) einer beliebigen Menge M.

Eine lineare Darstellung ist durch ihre Dimension n und durch den Körper K charakterisiert. Neben den komplexen und reellen Zahlen kommen hier die endlichen und p-adischen Körper in Betracht.

Eine modulare Darstellung ist eine Darstellung über einem endlichen Körper; wichtige Ergebnisse hängen von der Charakteristik des Körpers ab.

Darstellungen in Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe GL(V) zeichnen sich dadurch aus, dass sie gewisse Strukturen des Vektorraums V erhalten. Zum Beispiel erhält eine unitäre Darstellung, also eine Darstellung in die unitäre Gruppe U(V) das Hermitesche innere Produkt.

Einteilung nach dargestellter Gruppe

Einfachster Fall ist die Darstellung einer endlichen Gruppe.

Viele Ergebnisse in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen werden durch Mittelung über die Gruppe erzielt. Diese Ergebnisse können auf unendliche Gruppen übertragen werden, sofern die topologischen Voraussetzungen gegeben sind, um ein Integral zu definieren. Dies ist vermittels des Haar-Maßes in lokal kompakten Gruppen möglich. Die daraus resultierende Theorie spielt eine zentrale Rolle in der harmonischen Analysis. Die Pontrjagin-Dualität beschreibt diese Theorie im Spezialfall abelscher Gruppen als verallgemeinerte Fourier-Transformation.

Viele wichtige Lie-Gruppen sind kompakt, so dass die genannten Ergebnisse übertragbar sind; die Darstellungstheorie ist von entscheidender Bedeutung für die Anwendungen dieser Lie-Gruppen in Physik und Chemie.

Für nicht-kompakte Gruppen gibt es keine abgeschlossene Darstellungstheorie. Eine umfassende Theorie ist für halb-einfache Lie-Gruppen ausgearbeitet worden. Für die komplementären lösbaren Lie-Gruppen gibt es keine vergleichbare Klassifikation.