Bilinearform

Als Bilinearform bezeichnet man in der linearen Algebra eine Funktion, die zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, und die linear in ihren beiden Argumenten ist.

Die beiden Argumente können verschiedenen Vektorräumen V, W entstammen, denen jedoch ein gemeinsamer Skalarkörper K zugrundeliegen muss; eine Bilinearform ist eine Abbildung f : V × W → K. Eine Bilinearform ist eine Linearform bezüglich sowohl ihrem ersten als auch ihrem zweiten Argument.

Verallgemeinerungen und Varianten

Wenn die Abbildung nicht notwendig in den Skalarkörper K, sondern in einen beliebigen Vektorraum erfolgt, hat man eine bilineare Funktion.

Die Verallgemeinerung der Bilinearform auf mehr als zwei Argumente heißt Multilinearform.

Über dem Körper der komplexen Zahlen fordert man üblicherweise Linearität im einen und Semilinearität im anderen Argument; statt einer Bilinearform erhält man dann eine Sesquilinearform. Insbesondere ist ein inneres Produkt über einem reellen Vektorraum eine Bilinearform, über einem komplexen Vektorraum aber nur eine Sesquilinearform.

Spezialfälle

Wenn die beiden Argumente aus dem gleichen Vektorraum V stammen, kann die Bilinearform f : V × W → K zusätzliche Symmetrieeigenschaften haben:

Alternierend impliziert antisymmetrisch; Antisymmetrisch impliziert alternierend, sofern der Körper K nicht die Charakteristik 2 hat.

Beispiele

Ein Skalarprodukt über einem reellen Vektorraum ist eine Bilinearform.

Eine quadratische Form kann man als Bilinearform auffassen, in die zweimal das gleiche Argument eingesetzt wird: Q(x) = f(x,x).

Den Dualraum V^*, also die Menge aller linearen Abbildungen h : V → K aus einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Skalarkörper, kann man durch eine einzige Bilinearform <,> : V^* × V → K beschreiben: <h,x> = h(x).

Bilinearform als Tensor

Wenn man fordert, dass die Skalare f(x, y) unabhängig von der Wahl der Basis der Vektorräume V, W sein sollen, folgt, dass sich eine Bilinearform f unter einem Basiswechsel wie ein kovarianter Tensor zweiter Stufe verhalten muss.