Beweis (Logik)

Ein Beweis, auch als Schluss bezeichnet, ist in der Logik eine nach festgelegten Regeln durchgeführte Ableitung, in der eine zu beweisende Behauptung aus Axiomen und anderen, schon als wahr vorausgesetzten, Aussagen (Sätzen) gewonnen wird.

Wenn der Beweis erfolgreich durchgeführt wurde, wird die Behauptung als Satz bezeichnet.

In der Logik kennt man drei Schlussfolgerungsweisen: Deduktion, Induktion und Abduktion. Die Schlussfolgerungsweisen unterliegen bestimmten Regeln. Werden sie nicht eingehalten, können Fehlschlüsse entstehen.

Charles Sanders Peirce spricht nur der Induktion und der Abduktion die Fähigkeit zu, zu neuem Wissen führen zu können.

Peirce verwendet zur Illustration das berühmte Beispiel von einem Sack Bohnen auf einem Tisch und einer Handvoll Bohnen, die daneben ausgestreut liegen. Peirce schlägt für die Deduktion folgenden Syllogismus vor:

Die Schlussfolgerungsweise verläuft über eine bekannte Regel und einen bekannten Fall auf ein Resultat.

Prämisse (Regel) - Alle Bohnen aus diesem Sack sind weiß.

Prämisse (Fall) - Diese Bohnen sind aus diesem Sack

Schluss (Resultat) - Diese Bohnen sind weiß.

Die Induktion schlussfolgert von einem bekannten Fall und einem bekannten Resultat auf eine Regel:

Prämisse (Fall) - Diese Bohnen sind aus diesem Sack.

Prämisse (Resultat) - Diese Bohnen sind weiß.

Schluss (Regel) - Alle Bohnen aus diesem Sack sind weiß.

Die Abduktion (Hypothese), die Peirce als logische Schlussfolgerungsweise einführt, schließt von einem vorliegenden Resultat und einer möglichen oder spontan gebildeten Regel auf einen Fall. Um ein überraschendes Resultat erklärbar zu machen, wird eine Regel hypothetisch eingeführt, damit das Resultat als sinnvoller Fall dieser Regel betrachtet werden kann:

Prämisse (Resultat) - Diese Bohnen sind weiß.

Prämisse (Regel) - Alle Bohnen in diesem Sack sind weiß.

Schluss (Fall) - Diese Bohnen sind aus diesem Sack.

Literatur

Charles Sanders Peirce: Collected Papers Bd. 2: Elements of Logic. hg. v. Charles Hartshorne/Paul Weiss, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 2. Aufl., The Belknap Press, Cambridge, Mass. 1960. (CP): 2.622ff.