Automorphismus

In der Mathematik ist ein Automorphismus eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

• 1. sie bildet eine Struktur in sich selbst ab,
• 2. sie ist bijektiv,
• 3. sie ist ein Homomorphismus,
• 4. ihre Umkehrfunktion ist ein Homomorphismus.

Oder kürzer: sie ist ein Isomorphismus einer Struktur in sich selbst.

Man beachte, dass bei Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die vierte Bedingung aus den anderen dreien folgt, man im allgemeinen jedoch nicht auf sie verzichten kann, was im Artikel Homöomorphismus an einem Beispiel gezeigt wird.

Beispiele

In der Gruppentheorie ist ein Automorphismus einer Gruppe G ein bijektiver Homomorphismus von G nach G. Automorphismen sind zum Beispiel:

• in (Z, +) die Negation x -> -x
• in (R/{0}, *) die Kehrwertbildung x -> 1/x
• in einer Gruppe (G, *) die Inversion x -> x^-1
• in (C, +) die komplexe Konjugation
• in einer Gruppe (G, *) die Konjugation mit g aus G: x -> g^-1*x*g

In der Graphentheorie ist ein Automorphismus eines Graphen eine Permutation der Knoten, die den Graphen auf sich selbst abbildet (die permutierten Knoten sind durch dieselben Kanten verbunden wie die ursprünglichen).

zum Beispiel geht dieser Graph

1 --- 2     3 --- 4

durch Vertauschen der Knoten 1 und 2 in diesen Graphen über

2 --- 1     3 --- 4

Diese Operation ist ein Automorphismus. Vertauscht man jedoch im ersten Graphen die Knoten 2 und 3, erhält man diesen Graphen

1 --- 3     2 --- 4

der nun andere Kanten als der erste hat, also ist diese Vertauschung kein Automorphismus.

Automorphismengruppe

Die Menge aller Automorphismen einer Struktur X zusammen mit der Komposition von Funktionen bildet eine Gruppe, die so genannte Automorphismengruppe von X, geschrieben als Aut(X).

Einzusehen ist das ganz leicht:

• Abgeschlossenheit: Die Komposition zweier Bijektionen ist eine Bijektion, und die Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus.
• Assoziativität ist bei der Komposition immer erfüllt.
• neutrales Element: Die identische Abbildung x -> x ist ein Automorphismus.
• inverses Element: Das Inverse eines Automorphismus ist seine Umkehrfunktion, die auch ein Automorphismus ist.

Wenn es möglich ist, Elemente einer Struktur zu nehmen und mit ihnen Automorphismen zu bilden, dann unterscheidet man zwischen

• inneren Automorphismen
• äußeren Automorphismen

Für eine Gruppe G ist ein innerer Automorphismus ein Automorphismus f_g: G -> G der Form f_g(h) =g^-1hg (das ist die Konjugation mit g). Die inneren Automorphismen bilden einen Normalteiler von Aut(G), der mit Inn(G) bezeichnet wird.

Siehe auch: Morphismus