Austauschwechselwirkung

Die Austauschwechselwirkung ist eine Konsequenz des

Pauli-Prinzips, und zwar eine logische Folge, die sich aus dem Austausch ununterscheidbarer Teilchen ergibt. Es handelt sich hierbei nicht um eine Wechselwirkung, die

klassisch durch eine Kraft vermittelt wird, sondern einen rein quantenmechanischen

Effekt, der sich jedoch wie eine klassische Wechselwirkung bemerkbar macht.

Vorüberlegungen

Nach dem Pauli-Prinzip ist die

Gesamtwellenfunktion

Wellenfunktion wechselt bei paarweiser Vertauschung

(Austausch) von jeweils zwei Teilchen ihr Vorzeichen.

Physikalisch bedeutet das Pauli-Prinzip, dass zwei Fermionen niemals den selben Quantenzustand besetzen.

Bei einer Separation in Ortswellenfunktion und Spinwellenfunktion fordert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion bei symmetrischer Ortswellenfunktion eine antisymmetrische Spinwellenfunktion, und umgekehrt. Eine (anti)symmetrische Spinwellenfunktion kennzeichnet eine paarweise (anti)parallele Spinorientierung. Die Bedeutung einer antisymmetrischen Ortswellenfunktion wird im weiter unten folgenden Beispiel veranschaulicht.

Heuristische Darstellung der Austauschwechselwirkung

Für die Besetzung möglicher physikalischer

Zustände ist deren Energieniveau entscheidend. Die Austauschwechselwirkung berücksichtigt den Einfluss des Pauli-Prinzips auf das Energieniveau eines Zustands. Unmittelbar hat das Pauli-Prinzip jedoch keinen Einfluss auf das Energiniveau unterschiedlicher Zustände. Der energetische Effekt des Pauli-Prinzips ist vielmehr mittelbarer Natur. Am einfachsten wird dies verdeutlicht anhand eines Beispiels mit lediglich zwei Fermionen:

Beispiel mit zwei Fermionen

In einem solchen System können die beiden Spins parallel oder antiparallel ausgerichtet sein. Das Pauli-Prinzip ordnet diesen beiden Konstellationen keinen energetischen Unerschied zu, es verlangt lediglich, daß die zugehörigen Ortswellenfunktionen antisymmetrisch, respektive symmetrisch sind. Bei antisymmetrischer Ortswellenfunktion ist eine Lösung der zugehörigen Bedingung

gegeben durch

,

d.h. die beiden Fermionen befinden sich am selben Ort. Dies ist prinzipiell nicht ausgeschlossen. Handelt es sich bei den Fermionen jedoch um gleichsinnig geladene Teilchen (z.B.

Elektronen, die beide die Elementarladung

tragen), so ist aufgrund der elektrischen Abstoßung diese Konstellation ausgeschlossen. Die Elektronen versuchen vielmehr einen maximalen Abstand einzunehmen. Daher ist hier eine symmetrische Ortswellenfunktion günstiger, die ihrerseits mit einer antiparallelen Spinorientierung korreliert. D.h. aus der Kombination des Pauli-Prinzips mit der Coulombabstoßung folgt, daßdie Konstellation mit antiparallelen Spins energetisch günstiger ist.

Dies führt direkt zur Hundschen Regel

Konsequenzen der Austauschwechselwirkung

Allgemein ist der Überlapp der Wellenfunktionen der einzelnen Fermionen begrenzt, auch ist ein Verlauf der Ortswellenfunktion denkbar, der antisymmetrische Lösungen auch für Fermionen liefert,die an unterschiedlichen Orten lokalisiert sind. Die begünstigte Spinordnung in einem beliebigen Fermionensystem hängt daher vom konkreten Verlauf der Wellenfunktion ab. In Festkörpern beobachtet man unterschiedlichste Spinordnungen, die die magnetischen Eigenschaften des jeweiligen Festkörpers prägen.

Siehe auch: Kooperatives Phänomen Ferromagnetismus,

Antiferromagnetismus, Spindichtewelle