Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Als ausgezeichnete Punkte (auch: merkwürdige Punkte) des Dreiecks versteht man vor allem folgende vier Punkte:

• den Höhenschnittpunkt (H),
• den Umkreismittelpunkt (U) (Schnittpunkt der Seitensymmetralen),
• den Inkreismittelpunkt (I) (Schnittpunkt der Winkelsymmetralen) und
• den Schwerpunkt (S) (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden: Verbindung des Mittelpunktes einer Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt)

Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen immer auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.

Ein weiterer ausgezeichneter Punkt ist der Lemoinepunkt, der Schnittpunkt der Symmedianen.

Hinzu kommt eine Unmenge weiterer Punkte, die jeweils bestimmte Eigenschaften haben, die sie als "merkwürdige" Punkte auszeichnen, beispielsweise die beiden Brocard-Punkte oder den Gergonne-Punkt.

Höhenschnittpunkt

Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen. Wenn man das Dreieck mit ABC und die Höhen mit AA₁, BB₁ und CC₁ bezeichnet, dann ist also der Höhenschnittpunkt der Schnittpunkt H der drei Geraden AA₁, BB₁ und CC₁. Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, so befindet sich der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks. Hat das Dreieck dagegen einen stumpfen Winkel (also einen Winkel über 90°), so liegt H außerhalb.

Es gilt ferner

Das Dreieck aus den Fußpunkten A₁, B₁ und C₁ der Höhen bezeichnet man als Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks ABC. Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks; ist das Dreieck ABC stumpfwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC ein Ankreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks.

Weblinks

• Eine Enzyklopädie von Dreieckszentren, darunter viele ausgezeichnete Punkte.