Assoziative Algebra

Assoziative Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik. Die Erforschung assoziativer Algebren ist ein Gegenstand des mathematischen Teilgebiets Algebra.

Definition

Ein Vektorraum B

über einem Körper A

oder ein Modul B über einem Ring A zusammen mit einer bilinearen Abbildung

heißt assoziative Algebra,

wenn das folgende Assoziativgesetz gilt:

Es handelt sich also um eine spezielle A-Algebra.

Beispiele

• Die Menge aller Polynome mit reellen oder komplexen Koeffizienten bilden eine assoziative Algebra über den reellen bzw. den komplexen Zahlen.

• Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.

• Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.

• Die Menge aller n × n Matrizen zusammen mit der Matrizenmultiplikation bilden eine assoziative Algebra.

• Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.

• Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.