Archimedisches Prinzip

Das Archimedisches Prinzip wurde schon vor über 2000 Jahren vom altgriechischen Gelehrten Archimedes entdeckt. Es lautet:

Die Auftriebskraft eines Körpers ist genau so groß wie die Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge.

Ein Gegenstand wird also leichter, wenn er z. B. ins Wasser getaucht wird. Dieses Prinzip lässt Schiffe schwimmen.

Das Archimedische Prinzip gilt auch für Gase, aufgrund der geringen Dichte von Gasen ist der Auftrieb normalerweise jedoch nicht von Bedeutung. Eine Ausnahme sind Ballone und Luftschiffe, die durch ihre Füllung mit sehr leichten Gasen soviel Auftrieb bekommen, dass sie aufsteigen können.

Ursache für die Auftriebskraft ist der nach unten hin zunehmende Druck im verdrängten Medium (beispielsweise Wasser). Dadurch wirkt auf die unteren Teile der Oberfläche eines eintauchenden Körpers eine größere Kraft als auf die oberen Teile der Oberfläche.

Die Entdeckung des Archimedischen Prinzips

Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre, oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte.

Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief Heureka (Ich habe es gefunden).

Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen vollen Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren, musste sie aus einem leichteren Material, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein.

Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert.

Weblinks

• Nachbau des historischen Experimentes mit einfachen Mitteln

Physikalische Herleitung

Wirkt auf eine Fläche

wobei

Das archimedische Prinzip gilt nun genau dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist. Für Flüssigkeiten wie z. B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der in eine Flüssigkeit der Dichte ϱ eintaucht.

In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe A in der Tiefe z das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Masse

Der Druck in dieser Tiefe ist deshalb

Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen z auch in der Luft oder anderen Gasen (d.h. die Kompressibilität fällt nicht ins Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden). Deshalb gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder Ballone.

Für einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des Archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnen. Für einen Quader mit Grundfläche A und Höhe h, der senkrecht in die Flüssigkeit eintaucht, erhält man beispielsweise:

• Kraft auf die obere Grundfläche:

• Kraft auf die untere Grundfläche:

• Kräfte auf die Seitenflächen wirken nicht nach oben oder unten
• Die gesamte Auftriebskraft ist also

Dabei ist V das verdrängte Volumen, also

Für einen beliebig geformten Körper erhält man die gesamte Auftriebskraft durch das Oberflächenintegral

Das Archimedische Prinzip folgt dann sofort aus dem Gaußschen Integralsatz: