Approximation

Approximation (v. lat.: proximus, -a, -um = der/die/das Nächste) bezeichnet im mathematischen Sinn eine Näherung.

Es gibt vor allem zwei Gründe, solche Näherungen zu untersuchen: einmal könnte das Objekt des Interesses nur implizit, also als Lösung einer Gleichung gegeben sein. Ist die Gleichung schwer zu lösen, will man auf einfacherem Wege eine Näherung der Lösung finden. Auf der anderen Seite kann ein explizit gegebenes mathematisches Objekt nur schwer handhabbar sein. Dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden wünschenswert.

Beide Szenarien treten besonders häufig in der numerischen Mathematik auf und so ist die Approximationstheorie ein elementares Teilgebiet beziehungsweise Hilfsmittel dieser Disziplin, da sie computergestützte Lösungsverfahren beschleunigen oder erst möglich machen kann.

Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist der Begriff der Norm. Man approximiert eine Funktion immer bezüglich einer bestimmten Norm. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung für verschiedenen Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es, den Fehler, der durch die Approximation entsteht, abschätzen zu können, um deren Qualität zu beurteilen. Dies ist nicht immer einfach und die große Kunst in der Approximationstheorie.

Von besonderem Interesse ist die Approximation von Funktionen. Beispielsweise für Näherungslösungen von schwer lösbaren Differentialgleichungen oder zur Vereinfachung von gegebenen Funktionen. Hier bietet sich häufig die Approximation mit Polynomen an, welche einfach ableitbar, integrierbar und ausrechenbar sind. Die Grundlage für die Approximation mit Polynomen schuf Weierstraß mit seinem Approximationssatz, der besagt, daß jede stetige Funktion gleichmäßig mit trigonometrischen Polynomen approximiert werden kann.

Ein anderes wichtiges Beispiel ist die Approximation von irrationalen Zahlen wie der Kreiszahl Pi.

Siehe auch:

• Taylorpolynom
• Polynominterpolation
• Approximationsalgorithmus