Allgemeine lineare Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper F, GL(n,F), ist die Gruppe aller invertierbaren n×n Matrizen mit Koeffizienten aus F. Gruppenverknüpfung ist die Matrixmultiplikation.

Wenn der Körper F die endliche Ordnung q hat (also ein endlicher Körper ist), schreibt man auch GL(n, q) statt GL(n, F). Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge R der reellen oder C der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch GL(n).

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum

Wenn V ein Vektorraum über einem Körper F ist, schreibt man GL(V) oder Aut(V) für die Gruppe aller Automorphismen von V, also aller bijektiven linearen Abbildungen V → V, mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn V die Dimension n hat, sind GL(V) und GL(n, F) isomorph. Allerdings ist dieser Isomorphismus nicht kanonisch bestimmt; er hängt von der Wahl einer Basis von V ab. Für eine gegebene Basis kann jeder Automorphismus von V durch eine invertierbare n×n-Matrix dargestellt werden, wodurch der Isomorphismus von GL(V) auf GL(n, F) hergestellt wird.

Für n ≥ 2 ist die Gruppe GL(n, F) nicht abelsch.

Untergruppen von GL(n, F)

Jede Untergruppe von GL(n, F) wird eine lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

Die Untergruppe aller diagonalen Matrizen beschreibt Reskalierungen des Raums.

Die spezielle lineare Gruppe SL(n, F) enthält alle Matrizen mit der Determinante 1. SL(n,F) ist eine normale Untergruppe von GL(n,F); und die Faktorgruppe GL(n,F)/SL(n,F) ist isomorph zu F^×, der multiplikativen Gruppe von F (ohne die 0).

Die orthogonale Gruppe O(n, F) enthält alle orthogonalen Matrizen, kenntlich an einer Determinante von -1 oder +1.

Für F = R beschreiben diese Matrizen Automorphismen des Rⁿ mit Erhaltung der Euklidischen Norm und des Skalarprodukts.

Über R und C

Die allgemeine lineare Gruppe GL(n) über dem Körper R oder C ist eine Lie-Gruppe über F und hat die Dimension n².

Beweis: GL(n) ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit Fⁿ aller n×n-Matrizen, die die Dimension n² hat. GL(n) entsteht aus Fⁿ durch Einschränkung auf Matrizen mit einer Determinante ungleich 0. Die Determinante ist eine stetige (sogar polynomiale) Abbildung. GL(n) ist eine nichtleere offene Untermenge von Fⁿ und hat deshalb die gleiche Dimension. - Mir ist unklar, welches topologische Argument hier verwendet wird - Nachbesserung erbeten.

Die Lie-Algebra zu GL(n) ist die Allgemeine_lineare_Lie-Algebra gl(n) und sie besteht aus allen n×n-Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während GL(n,C) einfach zusammenhängend ist, hat GL(n,R) zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe GL⁺(n,R). Diese Untergruppe ist eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension n² und hat dieselbe Lie-Algebra wie GL(n,R).

Über endlichen Körpern

Wenn F ein endlicher Körper mit q Elementen ist, dann ist GL(n, F) eine endliche Gruppe mit

(qⁿ - 1) · (qⁿ - q) · (qⁿ - q²) ·... · (qⁿ - q^n-1)

Elementen, wie man durch Abzählen der möglichen Matrixspalten ermitteln kann.

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Projektive lineare Gruppe

Die projektive lineare Gruppe PGL(V) über einem Vektorraum V über einem Körper F ist die Faktorgruppe GL(V)/F^×, wobei F^× die Menge der skalaren Vielfachen k·id der Identität id: V → V ist mit k aus F/{0}. Die Bezeichnungen PGL(n, F) usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn F ein endlicher Körper ist, sind PGL(n, F) und SL(n, F) gleichmächtig, aber im allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum n-dimensionalen projektiven Raum über F gehört dabei die Gruppe PGL(n+1, F). Dies ist eine Verallgemeinerung der Gruppe der Möbius-Transformationen, der PGL₂.