Algebraischer Abschluss

In der Algebra ist der algebraische Abschluss eines Körpers K eine algebraisch abgeschlossene algebraische Erweiterung von K.

Mit Hilfe von Zorns Lemma kann man beweisen, dass jeder Körper K einen algebraischen Abschluss hat, und dass dieser Abschluss eindeutig im folgenden Sinne ist: Hat man zwei algebraische Abschlüsse L und M von K, dann gibt es einen Körper-Isomorphismus f:L→M, der K punktweise fest lässt (also f(x)=x für alle x in K).

Diese Eindeutigkeit bis auf Isomorphie erlaubt es, von dem algebraischen Abschluss von K zu sprechen.

Der algebraische Abschluss C von K ist die größte algebraische Erweiterung von K, denn ist L irgendeine algebraische Erweiterung von K, dann ist der algebraische Abschluss von L auch einer von K, also ist L ein Teilkörper von C.

Der algebraische Abschluss C ist auch die kleinste algebraisch abgeschlossene Erweiterung von K, denn ist M eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung von K, dann bilden die über K algebraischen Elemente von M einen algebraischen Abschluss von K, also liegt C in M.

Der algebraische Abschluss von K hat dieselbe Mächtigkeit wie K, falls K unendlich ist, und ist abzählbar, falls K endlich ist.

Beispiele:

• Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der algebraische Abschluss der reellen Zahlen R der Körper der komplexen Zahlen C ist.

• Der algebraische Abschluss der rationalen Zahlen Q ist der Körper der algebraischen Zahlen.

• Es gibt viele abzählbare algebraisch abgeschlossene echte Oberkörper der algebraischen Zahlen in C. Sie sind algebraische Abschlüsse transzendenter Erweiterungen von Q.

• Für einen endlichen Körper F_p der Primzahl-Ordnung p ist der algebraische Abschluss ein abzählbar unendlicher Körper der Charakteristik p, und enthält für jede natürliche Zahl n einen Teilkörper der Ordnung pⁿ (er besteht sogar aus der Vereinigung dieser Teilkörper).