Algebraische Zahlentheorie

Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie welche wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.

Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen Zahlen hinaus und betrachtet den Körper der algebraischen Zahlen, das sind Wurzeln von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlen enthalten eine den ganzen Zahlen analoge Teilmenge, den Ring der ganzalgebraischen Zahlen. Etliche vertraute Eigenschaften der ganzen Zahlen gelten hier aber nicht mehr (etwa die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers).

Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen modulo aller Primzahlen p zu betrachten. Dieser Vorgang, den man Lokalisation nennt, führt zu den p-adischen Zahlen.

Bekanntester Satz ist der große Fermatsche Satz, der mit Hilfe von Elliptischen Kurven beweisen wurde.