Algebraische Unabhängigkeit

In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaften von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.

Beispiele

• Die reellen Zahlen π+1 und π² (mit der Kreiszahl pi) sind algebraisch abhängig über den rationalen Zahlen Q (denn sie erfüllen mit X = π+1 und Y = π² die Polynomgleichung 0 = Y - (X-1)²).
• Ebenso sind π und die imaginäre Einheit i algebraisch abhängig über Q (denn mit X = π und Y = i gilt 0 = 0·X + Y² + 1).

Beispiele von komplexen Zahlen, die über Q algebraisch unabhängig sind, sind schwerer zu finden (gibt es überhaupt "aufschreibbare" Beispiele?), obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele über Q algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Leicht ist es dagegen, Beispiele in anderen Körpern zu finden:

• Im rationalen Funktionenkörper Q(X, Y) in zwei Unbestimmten X und Y über den rationalen Zahlen sind die Elemente X und Y algebraisch unabhängig, denn nach Definition dieses Körpers ist das einzige Polynom in zwei Variablen, das an der Stelle (X, Y) gleich 0 ist, das Nullpolynom.

Definition

Sei L/K eine Körpererweiterung. Seien v₁,..._, v_n Elemente von L. Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom f in n Variablen und Koeffizienten in K, d.h. f in K[X₁,..._, X_n]/{0}, so dass

f(v₁,..._, v_n) = 0,

dann heißen v₁,..._, v_n algebraisch abhängig.

Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.

Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen M von L erweitert werden, indem man eine Menge M algebraisch abhängig nennt, wenn sie eine algebraisch abhängige endliche Teilmenge hat.

Mit Polynomen erhält man auch die Abhängigkeit von Inversen, denn z.B. stehen X = e und Y = 1/e in der Polynom-Beziehung XY = 1.

Jedes über dem Grundkörper K algebraische Element ist algebraisch abhängig, denn es erfüllt ein Polynom über K. (So wie der Nullvektor eines Vektorraums allein schon linear abhängig ist.)

Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches den Begriff der linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d.h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome mit Koeffizienten im Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente heißt Transzendenzbasis, ihre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad der Erweiterung.