Algebraische Topologie

Die Algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das topologische Räume mit Hilfe der Algebra untersucht.

Das Ziel der algebraischen Topologie ist es topologische Räume zu klassifizieren und zu beschreiben. Die allgemeine Methode dieser Disziplin ist, den topologischen Räumen gewisse invariante algebraische Strukturen (meistens Gruppen oder Ringe) zuzuorden. Invariant bedeutet in diesem Fall dass zwei topologische Räume, die sich stetig ineinander überführen lassen, die gleiche algebraische Struktur besitzen. Damit sehen aus der Sicht der algebraischen Topologie zwei homöomorphe Mannigfaltigkeiten gleich aus - man betrachtet in gewisser Weise mit der algebraischen Brille eine vergöberte Version der Objekte, die auf die Details verzichtet, um auf den Kern der Objekte zu stoßen.

Man kann die Methoden sehr abstrakt mit Hilfe der Kategorientheorie

beschreiben. Technisch gesprochen handelt es sich um Funktoren von topologischen in algebraische Kategorien.

Es gibt im wesentlichen zwei wichtige Verfahren der algebraischen Topologie,nämlich die Homologie (bzw Cohomologie), welche - grob gesprochen - verschieden-dimensionale Löcher in einem topologischen Raum anzeigt, sowie die Homotopie. Hierbei ist allerdings die Homologie einfacher zu handhaben als die Homotopie.

Ein Beispiel für ein bedeutendes Resultat ist das Seifert-van Kampen Theorem. In diesem Theorem werden alle zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten klassifiziert.

Ein berühmtes Beispiel einer offenen Fragestellung auf dem Gebiet der algebraischen Topologie ist die Poincaré-Vermutung.

Mathematical Subject Classification: 55-XX

Weblinks

• Mathematical Atlas Artikel