Algebraische Logik

Die algebraische Logik ist eine Bezeichnung für Untersuchungen zur mathematischen Logik, die in besonders intensivem Maße Methoden der modernen Algebra verwenden.

Diese Untersuchungen verfolgen u.a. folgende Ziele:

• 1. die Verwendung algebraischer Methoden zur Gewinnung neuer logischer Resultate oder zur vereinfachten Herleitung bekannter Ergebnisse;
• 2. die Einordnung bestimmter Teile der mathematischen Logik in allgemeine algebraisch-strukturtheoretische Untersuchungen;
• 3. die Verwendung allgemeinerer algebraischer Strukturen bei der Interpretation von Kalkülen der Logik;
• 4. die Klärung logischer Probleme der allgemeinen Strukturtheorie.

Beispielsweise kann man die Untersuchung zur klassischen zweiwertigen Aussagenlogik als Untersuchungen zur zweielementigen Boolschen Algebra oder zum zweielementigen Körper ansehen.

Analog können Untersuchungen zu mehrwertigen und modalen Aussagenlogiken sowie zur intuitionistischen Aussagenlogik algebraisch als Untersuchungen gewisser anderer algebraischer Strukturen gedeutet werden, die vielfach - wie z.B. auch die Boolschen Algebren - nach Autoren entsprechender Logikkalküle benannt sind:

• Post Algebren,
• Lukasiewicz Algebren,
• Heyting Algebren,
• Brouwer Algebren u.a.

Analoge Algebraisierungen der Prädikatenlogik sind die Zylinderalgebren und die polyadischen Algebren. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet für algebraische Untersuchungen in der Logik bilden die abgeschlossenen Klassen Boolscher Funktionen und die analogen Klassen der k-wertigen Logik (Superposition Boolscher Funktionen) sowie die deduktiv abgeschlossenen Mengen formalisierter Theorien.

Eine weitgehende Algebraisierung erlauben auch das formale Operieren mit Ausdrücken und die Interpretation formalisierter Theorien, z.B. kann die Wert-Definition des klassischen zweiwertigen Aussagenkalküls algebraisch als die kanonische Definition eines Homomorphismus der "Peano Algebra" der Ausdrücke dieses Kalküls in die Wahrheitswert-Algebra aufgefaßt werden.