Algebraisch abgeschlossen

In der abstrakten Algebra heißt ein Körper F algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad > = 1 mit Koeffizienten in F eine Nullstelle in F hat. In dem Fall zerfällt jedes Polynom über F in Linearfaktoren. Ein Körper ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn er keine echte algebraische Erweiterung hat.

Beispielsweise ist der Körper der reellen Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen, denn das Polynom X²+1 hat in R keine Nullstelle. Der Körper C der komplexen Zahlen dagegen ist algebraisch abgeschlossen. Diese Aussage bildet den Fundamentalsatz der Algebra. Der Körper der algebraischen Zahlen über Q ist algebraisch abgeschlossen.

Ist ein Körper nicht algebraisch abgeschlossen, dann kann man ihm formal die Nullstellen von Polynomen über diesem Körper hinzufügen, und unter Verwendung des Lemma von Zorn einen algebraischen Abschluss dieses Körpers konstruieren.