Algebra

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik. Zugleich steht Algebra auch für Algebraische Struktur als Name bestimmter, recht spezieller mathematischer Konstrukte.

Wortgeschichte

Das Wort leitet sich vom indischen Aryabhattiya, einem mathematischen Lehrbuch des Mathematikers Aryabhatta aus dem 5. Jahrhundert ab, während die eigentliche Methode Bijaganitam genannt wurde. Im 13. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Araber diese Methode und nannten sie al-jabr ("das Zusammenfügen gebrochener Teile"), was aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs von Al-Khwarizmi entnommen ist.

Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwer geworden ist, in einer knappen Definition anzugeben, was Algebra eigentlich ist. Auch wäre es nicht praktikabel, alle Aspekte der Algebra in einem Enzyklopädie-Artikel zu behandeln. Wir unterscheiden deshalb folgende, keineswegs scharf voneinander abgegrenzte Teilgebiete:

• Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
• Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder komplexen Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden kann.
• Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
• Die multilineare Algebra handelt von Tensoren.
• Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper und deren Verknüpfung.
• Die universelle Algebra verallgemeinert die Begriffsbildungen der abstrakten Algebra. Sie geht dabei einen anderen, aber eben so weitreichenden Weg wie die Kategorientheorie.

Computer-Algebra-Systeme automatisieren algebraische Rechnungen.

Algebra als mathematische Struktur

Als Algebra (auch: Algebraische Struktur) bezeichnet man auch das Grundkonstrukt der abstrakten Algebra: eine Menge, auf der eine oder mehrere Verknüpfungen definiert sind und in der gewisse Axiome gelten. Gruppen, Ringe, Körper sind somit Beispiele für spezielle Algebren.

Einige spezielle algebraische Strukturen haben einen Namen, der das Wort "Algebra" explizit enthält:

• Eine Mengenalgebra, manchmal auch nur Algebra genannt, ist eine Teilmenge A einer Potenzmenge Π(X), mit Vereinigung und Komplementbildung als Verknüpfungen und der axiomatischen Forderung X∈A.
• • Eine σ-Algebra ist eine Mengenalgebra, die abgeschlossen auch bezüglich einer abzählbar unendlichen Folge von Verknüpfungen ist. σ-Algebren bilden eine Grundlage der Maßtheorie.
• Ein Vektorraum zusammen mit einer "Vektormultiplikation" wird ebenfalls als Algebra bezeichnet; siehe dazu Algebra (Vektorraum). Spezielle Arten solche Algebren sind:
• • assoziative Algebra
  • Lie-Algebra
  • Banach-Algebra
  • Divisionsalgebra
• Boolesche Algebra

"Algebraisch" als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen

Algebraisch als mathematisches Attribut hat folgende Bedeutungen:

• Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, zu deren Formulierung nur endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) erforderlich sind, in der also zum Beispiel keine typischen analytischen Funktionen vorkommen.
• Die algebraischen Zahlen erhält man als Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
• Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl auf Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem beliebigen vorgegebenen Körper.

"Algebraische" Teilgebiete der Mathematik

• Kommutative Algebra
• Algebraische Topologie
• Algebraische Geometrie
• Algebraische Zahlentheorie