Affiner Raum

Der affine Raum nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein.

Informelle Definitionen

Der affine Raum im engsten Sinne ist ein mathematisches Modell für den uns vertrauten dreidimensionalen Anschauungsraum.

In einem weiteren Sinne kann ein affiner Raum, wie andere mathematische Räume auch, eine beliebige Dimension haben: als affinen Raum kann man auch die Nullmenge, einen einzelnen Punkt, die affine Gerade, die affine Ebene sowie vier- und höherdimensionale Räume bezeichnen.

Noch abstrakter definiert man einen affinen Raum algebraisch als eine Punktmenge, deren Translationen als additive Wirkung eines Vektorraums aufgefasst werden können.

Alternativ dazu kann man den affinen Raum definieren, indem man einige Axiome der Euklidischen Geometrie lockert. Dieser axiomatische Zugang ist wesentlich aufwendiger als der zuvor genannte algebraische, aber letztlich äquivalent.

Als weitere Alternative wird die affine Geometrie im Sinne des Erlangener Programms von Felix Klein als Inbegriff der unter affinen Transformationen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt. Hierzu sind Beiträge dringend erbeten: siehe Diskussion:Affiner Raum.

Algebraische Definition

Gegeben seien eine Menge A, deren Elemente geometrisch als Punkte aufgefasst werden, ein Vektorraum V und eine Abbildung von A×V nach A, die zwei Punkten P, Q ∈ A einen Verbindungsvektor

• für alle P, Q, R ∈ A gilt:
  

  (Beziehung von Chasles),

• für alle P ∈ A und alle ∈ V gibt es einen eindeutigen Punkt Q ∈ A, so dass
  

Das Paar (A, V) heißt affiner Raum; wenn klar ist, welcher Vektorraum V zugrunde liegt, bezeichnet man auch A alleine als den affinen Raum.

Im affinen Raum ist eine Addition oder Translation als Abbildung von A×V nach A dadurch definiert, dass

eindeutig bestimmte Punkt Q ist.

Die Dimension des affinen Raums ist definiert als die Dimension des Vektorraums V.

Wenn P ein Punkt aus A ist und U ein Untervektorraum von V, dann ist (P+U, U) ein affiner Unterraum von (A, V).

Beispiele

Weblinks

• Vorlesungsskript "Algebra und Geometrie" von Hubert Grassmann

Siehe auch: Affine Koordinaten