Äquivalenzklasse

Ist X eine Menge, und ~ eine Äquivalenzrelation auf X, dann heißt für ein Element a aus X die Menge

Äquivalenzklasse von a. Sie wird üblicherweise mit [a] bezeichnet und besteht aus genau den Elementen von X, die äquivalent zu a sind.

Äquivalenzklassen sind nützlich, um neue Mengen aus vorhandenen zu konstruieren. Die Menge aller Äquivalenzklassen in X bezüglich der Relation ~ wird üblicherweise als X/~ bezeichnet und "Faktormenge von X modulo ~" genannt.

Beispiele und Eigenschaften

Es gilt a ~ b genau dann wenn [a] = [b].

Auf der Menge Z der ganzen Zahlen ist die "Kongruenz modulo 2" eine Äquivalenzrelation, definiert durch x~y genau dann, wenn x-y gerade ist. Diese Relation liefert zwei Äquivalenzklassen: [0] besteht aus allen geraden Zahlen, und [1] besteht aus allen ungeraden Zahlen.

Hat X eine Struktur, die von der Relation ~ erhalten wird, dann ist die Faktorstruktur X/~ vom gleichen Typ und die Abbildung a -> [a] ist ein Homomorphismus.

Ist G eine Gruppe und H eine Untergruppe, dann können wir die folgenden beiden Äquivalenzrelationen definieren:

• x ~_R y genau dann wenn xy^-1 in H. Die Äquivalenzklassen sind von der Form Hx und heißen rechte Nebenklassen von H in G. Die Menge aller Nebenklassen schreibt man als G/H.
• x ~_L y genau dann wenn x^-1y in H. Dann sind die Äquivalenzklassen von der Form xH und heißen linke Nebenklassen von H in G. Die Menge aller Nebenklassen schreibt man als G/H.
• Ist H ein Normalteiler, dann stimmt Hx mit xH überein und die Menge G/H der Nebenklassen ist in natürlicher Weise eine Gruppe, die Faktorgruppe genannt wird.

Aus den Eigenschaften einer Äquivalenzrelation folgt, dass Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sind. Daraus folgt, dass die Menge aller Äquivalenzklassen von X eine Zerlegung oder Partition von X bildet: Jedes Element von X gehört zu genau einer Äquivalenzklasse. Umgekehrt definiert jede Zerlegung von X eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen gerade die ursprüngliche Zerlegung bilden.

Jede Gruppe kann zerlegt werden in Konjugationsklassen, die Äquivalenzklassen zueinander konjugierter Elemente in dieser Gruppe sind.

Die ganzen Zahlen können aus den natürlichen Zahlen konstruiert werden als Äquivalenzklassen von Paaren (a,b) natürlicher Zahlen bezüglich folgender Äquivalenzrelation:

(a,b) ~ (c,d) genau dann wenn a+d = b+c

Die Äquivalenzklasse [(a,b)] ist dann die ganze Zahl a-b.

Die rationalen Zahlen können aus den ganzen Zahlen konstruiert werden als Äquivalenzklassen von Paaren (a,b) ganzer Zahlen (dabei ist b ungleich 0) bezüglich folgender Äquivalenzrelation:

(a,b) ~ (c,d) genau dann wenn ad = bc

Die Äquivalenzklasse [(a,b)] ist dann der Bruch a/b.

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen (siehe auch vollständiger Raum).

Der Restklassenring Z/nZ besteht aus den Äquivalenzklassen der Kongruenz modulo n auf Z, d.h. aus den Mengen

[a] = {a + nm | m aus Z} =: a+nZ für a = 0,._.. n-1.

Siehe hierzu auch Restklasse.