Adjungierte Matrix

In der linearen Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix A adjungierte Matrix adj(A) eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Definition

Reelle Matrix

Ist A eine reelle n×n-Matrix, dann ist die zu A adjungierte Matrix adj(A) durch die folgende Eigenschaft definiert, wobei <·, ·> das kanonische Skalarprodukt des Rⁿ ist:

< Av, w > = < v, adj(A)w > für alle v, w in Rⁿ

Man kann dann zeigen, dass adj(A) genau die Transponierte von A ist.

Komplexe Matrix

Ist A eine komplexe n×n-Matrix, dann ist die zu A adjungierte Matrix adj(A) durch die folgende Eigenschaft definiert, wobei <·, ·> das kanonische Skalarprodukt des Cⁿ ist:

< Av, w > = < v, adj(A)w > für alle v, w in Cⁿ

Man kann dann zeigen, dass adj(A) genau die komplex Konjugierte der Transponierten von A ist.

Verallgemeinerung

Allgemeiner definiert man in der Funktionalanalysis für einen Endomorphismus F: V -> V eines beliebigen euklidischen oder unitären Vektorraums V einen adjungierten Endomorphismus adj(F): V -> V durch diese Eigenschaft:

<F(v), w> = <v, adj(F)(w)> für alle v, w in V</sup>

Man kann dann einen Zusammenhang zum dualen Operator F^*: V^* -> V^* herstellen.

Eigenschaften

Müsste noch aus en übersetzt werden.

Zu beachten

Manchmal wird auch die komplementäre Matrix A^# als adjungierte Matrix bezeichnet, in der Wikipedia verwenden wir diese beiden Begriffe jedoch so, wie sie in diesen Artikeln vorgestellt werden.

Im Englischen verwendet man die Schreibweise A^* für die adjungierte Matrix und adj(A) für die komplementäre Matrix.