Abgeschlossenheit

In der Mathematik tritt der Begriff Abgeschlossenheit in mehreren Bedeutungen auf.

Abgeschlossene Menge

Ist M eine Teilmenge eines topologischen Raums A, dann heißt M abgeschlossen, wenn sein Komplement A/M eine offene Menge in A ist.

Für einen metrischen Raum ist folgende Bedingung äquivalent:

Eine Teilmenge M eines metrischen Raums A ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt.

D.h.

ist
konvergent in A, dann ist

Dieser Teil sollte in den Artikel abgeschlossene Menge eingehen.

Abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung

Ist * eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, dann heißt das, * ist eine Funktion von A×A nach A. Ist nun M eine Teilmenge von A, dann heißt M abgeschlossen bezüglich *, wenn a*b in M liegt für alle a, b aus M, wenn also * auch eine innere zweistellige Verknüpfung auf M ist.

Zum Beispiel ist eine Untergruppe eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe (G, *), die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung * und der Inversenbildung ist.

Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums V, die abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ist.

Deduktive Abgeschlossenheit

In der klassischen Logik bezeichnet man eine Menge F logischer Formeln als deduktiv abgeschlossen, wenn die Menge aller Formeln, die aus einer der Formeln von F logisch folgen, gerade die Menge F ergeben, d.h.

wobei