Abgeschlossene Menge

In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines topologischen, metrischen oder euklidischen Raums X, deren Komplement X/M eine offene Menge ist. Anschaulich ist eine Menge M abgeschlossen, wenn der Rand von M ganz zu M gehört. Das ist gleichbedeutend mit folgender Eigenschaft: Ist

Ein einfaches Beispiel ist das Intervall [0, 1] in den reellen Zahlen. Das Komplement von [0, 1] ist die Vereinigung

ist nicht offen.

Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die rationalen Zahlen

Beachte, dass der Begriff "offene Menge" nicht das Gegenteil von "abgeschlossene Menge" ist. Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall (0, 1], und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. (Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen Menge bezeichnet, seltener als abgeschloffen.)

Der Begriff der abgeschlossenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir betrachten hier den anschaulichen euklidischen Raum, den metrischen Raum und den topologischen Raum.

Euklidischer Raum

Definition

Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums Rⁿ, dann nennt man U abgeschlossen, falls gilt:

Für jedes x des Rⁿ außerhalb von U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass jeder Punkt y des Rⁿ, dessen Abstand zu x kleiner ist als ε, ebenfalls außerhalb von U liegt.

Erläuterung

Beachte, dass das ε vom Punkt x abhängt, d.h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ε. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ε, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im R² ist diese Kugel das Innere eines Kreises.)

Die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Punkt x kleiner oder gleich einer positiven Zahl r ist, ist auch eine Kugel, man nennt sie abgeschlossene Kugel, da sie die Definition einer abgeschlossenen Menge erfüllt.

Metrischer Raum

Definition

Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Dann nennt man U abgeschlossen, wenn gilt:

Für jedes x aus X/U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < ε folgt, dass y in X/U liegt.

Auch hier hängt die Wahl von ε von x ab.

Abgeschlossene Kugel

In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner oder gleich ε ist, eine abgeschlossene Kugel. Formal schreibt man

und nennt diese Menge die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r>0.

Bei der abgeschlossenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen Abstand haben, der kleiner oder gleich r ist, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel normierter Raum gegebenen Beispiele, dass eine Kugel bezüglich einer Metrik nicht immer "kugelförmig" bzw. "kreisförmig" ist.)

Die Definition einer abgeschlossenen Menge läßt sich nun so schreiben:

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge U von X abgeschlossen, falls gilt:

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für euklidische Räume, denn jeder euklidische Raum ist ein metrischer Raum, und für euklidische Räume stimmen die Definitionen überein.

Beispiele

Betrachtet man die reellen Zahlen R mit der üblichen euklidischen Metrik, so sind die folgenden Beispiele abgeschlossene Mengen:

• Das oben genannte abgeschlossene Intervall [0,1], das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich. Dieses Intervall ist auch ein Beispiel für eine abgeschlossene Kugel in R: Der Mittelpunkt ist 1/2, der Radius ist 1/2.
• R selber ist abgeschlossen.
• Die leere Menge ist abgeschlossen.
• Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abgeschlossen in Q, aber nicht abgeschlossen in R.
• Das Intervall [0, π ) ist nicht abgeschlossen in R, die Menge aller rationalen Zahlen x mit 0 ≤ x < π ist dagegen abgeschlossen in Q.

Im R² kann man sich abgeschlossene Mengen vorstellen als Mengen, bei denen man den Rand hinzugefügt hat.

Eigenschaften

Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge. Der Beweis dazu wird veranschaulicht von nebenstehender Abbildung: Zum Punkt y₂ außerhalb der abgeschlossenen Kugel

(x, r) liegt. Analog sieht man an dieser Darstellung, dass jede offene Kugel offen ist.

Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen ist wieder eine abgeschlossene Menge. Daraus kann man folgern, dass der Schnitt endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist.

Die Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Topologischer Raum

Um abgeschlossene Mengen in einem noch allgemeineren Kontext zu definieren, muss man das Konzept der Kugel fallen lassen. Man bezieht sich stattdessen nur auf die Offenheit des Komplements.

Ist X ein topologischer Raum und U eine Teilmenge von X, dann heißt U abgeschlossen, wenn das Komplement X / U eine offene Menge ist.

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für metrische Räume.

Abgeschlossene Hülle

Sei X ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Ein Element b von X heißt Berührpunkt von U, wenn in jeder offenen Kugel um b mindestens ein Element von U enthalten ist. Die Menge aller Berührpunkte von U bildet den Abschluss von U oder die abgeschlossene Hülle von U, geschrieben als

Da jedes Element von U ein Berührpunkt von U ist, ist U stets eine Teilmenge des Abschlusses von U. Die abgeschlossene Hülle ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die U enthält.

Für jedes Element a aus dem Abschluss von U existiert eine Folge mit Elementen aus U, die gegen a konvergiert.

Beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle einer offenen Kugel nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel. Erstere ist jedoch stets eine Teilmenge der abgeschlossenen Kugel:

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X ein diskreter metrischer Raum mit mindestens zwei Elementen. Für jedes x in X gilt:

Eine verallgemeinerte Definition der abgeschlossenen Hülle ist auch in topologischen Räumen möglich: Ist X ein topologischer Raum und U eine Teilmenge von X, dann heißt der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von U die abgeschlossene Hülle von U. Hier existiert für jedes Element a des Abschlusses ein Netz, das gegen a konvergiert, aber nicht notwendig eine gegen a konvergente Folge.