Mathematik 4 (griech.), die M. begann im 19. Jh., eine ontolog. ungebundene Sicht ihrer Theorien zu suchen. Dedekind, Weierstraß und Cantor (um 1860) begründeten den bis dahin unklaren Begriff der reellen Zahl, Cantor 'erfand' (1873/1883) die Mengenlehre und wagte sich mit ihren Mitteln in den Bereich des Unendl. vor; Dedekind (1888) mit mengentheoret., Frege (1884) und Peano (1889) mit log. Mitteln erarbeiteten die ersten nicht-philosoph. Begründungen für die natürl. Zahlen. Markstein wurde Hilberts Buch 'Grundlagen der Geometrie' (1899), das endgültig die euklid. Epoche der M. abschloß. Mathemat. Theorien sollten seitdem in sich geschlossene formale Systeme und ihre Axiome und Sätze beliebiger Interpretation fähig sein. Große Schritte in dieser Richtung bedeuteten die 'Principia Mathematica' (1910/1913) von Russell und Whitehead, die Axiomatisierung der Mengenlehre, die potentielle begriffl. Basis jeder M. (Zermelo 1907, Fraenkel 1923, v. Neumann 1925), sowie der Beweis des Vollständigkeitssatzes durch Gödel 1929, nach dem jeder Satz einer Theorie log. aus den Axiomen abgeleitet werden kann. Gödel aber bewies auch wenig später, daß die Widerspruchsfreiheit der M. nicht mit ihren eigenen Mitteln nachzuweisen ist.
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